금누리 금속공예.셈

금속.공예.셈

2005/10/28(11:53) from 211.196.78.5
작성자 : 김성태 (moen@7dmoen.com)	조회수 : 1798 , 줄수 : 14

프랙탈이란

‘프랙탈’이라는 용어는 만델브로트B.B. Mandelbrot가 1975년 그의 책 제목을 생각하던 중 라틴어의 부서진다는 의미의 동사 ‘프란게리frangere’의 형용사형인 ‘프락투스fractus’라는 낱말을 참조하여 만들어진 단어이다. fractus라는 단어처럼 어떠한 물질을 부셔도 전체의 모습을 유지하고 있다는 의미일 것이다. 만델브로트는 프랙탈에 대해서 다음과 같이 설명한다.

프랙탈 이론은 나무나 혈관의 가지, 해안선과 산 그리고 구름의 울퉁불퉁한 모양, 양치식물의 잎이나 꽃양배추의 모양처럼 통상 유클리드 기하학에서는 다루지 않았던 자연계의 복잡한 자기유사적 도형(부분을 확대하면 전체와 같은 구조가 나타나는 도형)을 연구대상으로 삼는다. 이러한 자기유사적 도형은 일반적으로 1차원, 2차원, 3차원 등과 같은 정수 차원이 아니라, 예를 들어 1.4차원이라든가 2.7차원 등의 비(非)정수적 차원을 일반적으로 ‘프랙탈 차원’이라 한다. 이미 이야기했듯이 앞의 칸토어 집합의 차원은 0.6309(정확하게 말하자면 log2/log3 차원)이다. 이것은 무한개의 점으로 이루어진 칸토어 집합이 0차원의 점보다는 크고, 1차원의 선분보다는 차원이 작다는 의미이다. 많은 기묘한 끌개의 기하학 구조는 프랙탈적이고, 따라서 마찬가지로 프랙탈 차원에 의해 특징지어진다.

프랙탈은 구면이나 삼각형이나 직선과 같은 기하 도형들과는 다른 성질을 가지고 있다. 유클리드 기하학의 세계에서는 정수로 표시되는 차원을 가진다. 구면이나 정육면체나 그 밖의 입체들은 3차원이고, 정사각형이나 삼각형은 2차원이며, 직선과 곡선은 1차원이고, 점들은 0차원이다. 그러나 프랙탈은 얼마나 많이 구부러져 있는 가에 따라 1차원과 2차원 사이의 어느 차원이나 될 수 있다. 곡선이 직선과 유사할수록 더 매끄럽고 프랙탈 차원은 1에 가까워진다. 거칠게 갈짓자로 움직이면서 거의 평면을 채워가는 곡선은 2차원에 가까운 프랙탈 차원을 가진다. 프랙탈 차원이 높아질수록 훨씬 더 복잡해지고 거칠어진다. 그렇지만 프랙탈 차원은 그 프랙탈이 속해 있는 도형의 유클리드 차원보다 결코 크지 않다. 일반적으로 프랙탈은 정수 차원 사이의 공간을 채우고 있다.
칸토어가 직선에 포함된 점과 평면 속의 점의 개수(농도)가 같다는 선언을 하면서 차원의 개념에 대한 재검토가 시작되었으며, 몇몇의 수학자들은 이 괴상한 도형들을 진지하게 받아들여 자세하게 연구하였다. 프랙탈은 미세한 구조로 스스로를 복제 해 나가는 기하학적 도형이며 카오스의 본질은 전적으로 결정론적임에도 외면적으로는 임의적인 것처럼 보이는 현상을 가리키고 있다.
카오스 운동이 위상공간에서 전형적인 프랙탈 구조를 갖기 때문에 프랙탈은 카오스 운동의 기하학적 측면이라고도 할 수 있다. 프랙탈은 다음의 네 가지 특성을 가지고 있다.
첫째, 전체와 부분이 유사한 형태를 가진다. 자기유사성은 어느 부분을 확대하여도 전체의 모양과 닮았다. 부분 속에 전체가 들어 있는 구조로 부분이 전체를 반영하는 반복 구조를 의미한다.
둘째, 프랙탈은 비 규칙적, 비대칭적 구조이다. 삼각형, 사각형, 원, 구 등과 같이 전통적인 기하학의 형태는 확대하면 그 구조가 사라진다. 하지만 프랙탈은 확대?축소하더라도 단순해지지 않으며 비 규칙성의 정도가 계속 발생되는 자기유사성을 나타낸다. 만델브로트에 의하면 ‘시어핀스키 개스킷’이나 ‘코흐곡선’은 모든 부분이 전체와 정확히 일치하기 때문에 선형적인 자기유사나 대칭구조를 갖는다고 하였다. 그러나 프랙탈은 엄격한 자기유사나 단조로운 반복이 아니며 완전한 동일성이 해체된 비동일적인 카오스의 세계를 나타낸다.
셋째, 프랙탈은 규칙성/비 규칙성, 단순성/복잡성, 다양성/일관성 등의 대조적인 특성들이 상호보완적으로 공존하고 있다. 따라서 프랙탈의 형성 메카니즘은 복잡하고 비 규칙적인 형상일지라도 단순한 반복 규칙에 기초한다.
넷째, 위상공간에 나타나는 어트랙터attractor는 프랙탈 특성을 갖는다. ‘끌어 당긴다’라는 뜻의 어트랙터는 복잡한 영역 안에서 중심이 되는 운동의 한정된 영역을 가리킨다. 특히 기상학적 모델에서 발견된 ‘로렌츠 어트랙터Lorenz Attractor’는 카오스의 기하학적 형상으로 조직화된 무질서를 보여준다.

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