전자공간과.미술
... ... ...
2001/06/24(16:03) from 210.221.56.61
작성자 : 안지성 (sungkn@hanmail.net) 조회수 : 799 , 줄수 : 466
5강 점선면의 수학적 의미...(인터넷자료)
내려받기 : 점선면.htm (25 Kbytes)


점선면







style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=3>점, 선, 면


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2> 











style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> 


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>주변의 사물의 모양을 말할 때, 우리는 도형을 예로 들어 설명합니다. '트라이앵글은 세모', '공책은
네모'라는 말에서, 세모나 네모는 삼각형과 사각형이라는 도형을 말합니다. 또 주사위 같은 모양의 도형을 정육면체라고 하는데 이러한 도형들은 모두
점, 선, 면으로 이루어져 있습니다.


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>  


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> 


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> name=basic1_1>점


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> size=2> 


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>일상 생활에서 우리는 '네 얼굴에 있는 점 진짜 크다'라는 말을 하지만 수학에서는 점이란 위치만 표시할 수
있고 크기나 모양이 없는 것입니다. 그러므로 큰 점, 작은 점이나 복점이란 것은 없습니다. 그러면 점이 있는지 어떻게 알 수 있을까요?


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> 


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>[그림 1]에 그려진 삼각형을 봅시다. 삼각형에는 세 개의 선이 있는데 그 선들을 각각 선1, 선2, 선3이라
합시다. 선1과 선2가 만나는 곳에 무엇이 있습니까?


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>예! 점입니다.


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>선2와 선3이 만나는 곳, 선3과 선1이 만나는 곳에도 점이 있습니다.


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>이로써 점이 있다는 것을 알 수 있겠죠?


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> size=2> 


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>점은 크기나 모양이 없는 것이니 어떻게 표시할지 걱정이라고요? 점을 그리고자 하는 곳에 border=0 height=14 src="점선면.files/basicgeometry1-1.gif" width=11>이렇게 표시하면 됩니다.
사실 이렇게 표시해도 크기는 있는 것이긴 하지만 점을 보이게 표시해야할 때는 이렇게 표시하기로 약속합니다.그리고 점은 보통 영문 대문자로 점
A, 점 B, 점 C와 같이 표시합니다.
 


     
       
       
         

           

           face=굴림 size=2>         src="점선면.files/basicgeometrya.gif"
     width=191>


     

         

             

             style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px">      color=black face=굴림,신명조 size=2>   [그림1]


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2> 


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> 


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> name=basic1_2>선


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> size=2> 


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>그러면 이번에는 선에 대해 알아볼까요?


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>[그림 1]에 대한 설명에서 선과 선이 만나면 점이 생긴다고 하였는데 왜 그런 것일까요? 선이 수많은 점들로
이루어져 있다는 생각을 해본 적이 있나요?


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>아무리 짧은 선이라도 그 선은 셀 수 없을 만큼 많은 점들로 이루어져 있습니다. 따라서 선과 선이 만나는
곳에도 점이 있는 것이고 이 점은 두 선에 공통으로 포함되는 점입니다.


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> size=2> 


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>선에는 여러 종류가 있습니다.


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>선 중에서 곡선이 아닌 곧은 선은 선분, 직선, 반직선으로 구분할 수 있습니다. 선은 무수히 많은 점들을
포함하고 있다고 하였는데, 선에 포함되는 서로 다른 두 점 A와 B를 생각해 봅시다.


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> size=2> 


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>이 두 점 A, B를 포함하는 선 중에서 다음의 그림처럼 두 점 A와 B 사이를 잇는 가장 짧은 선을 선분
AB라고 하고 로
나타냅니다.


size=2> 



     

     face=굴림 size=2>  width=140>


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> size=2> 


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>다음 그림에서와 같이 선분 AB를 포함하면서 두 점의 양쪽으로 무한하게 뻗어나가는 선을 직선 AB라고 하고
로 표시한다.


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> size=2> 



     

     face=굴림 size=2>  width=182>


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> size=2> 


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>점 A와 점 B를 잇는 선은 얼마든지 많이 그릴 수 있지만 그 중에 직선은 단 하나밖에 존재하지 않습니다.


size=2> 


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>다음 그림에서와 같이 두 점 중 한 점 쪽으로는 무한히 뻗어나가고 다른 한쪽 점으로는 뻗어나가지 않는 선을
반직선이라고 합니다. 예를 들어 점 A에서 출발하여 점 B쪽으로 뻗어나가는 선을 반직선 AB라고 하고 src="점선면.files/basicgeometry3.gif" width=21>로 나타내며, 점 B에서 출발하여 점 A쪽으로 뻗어나가는 선을
반직선 BA라고 하고 width=24>로 나타냅니다.


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> size=2> 


     
       
       
         
       
         

           

           face=굴림 size=2>        src="점선면.files/basicgeometryb-3.gif" width=170>


           

           face=굴림 size=2>        src="점선면.files/basicgeometryb3-1.gif"
     width=170>


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> size=2> 


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>점은 크기가 없지만 선은 크기를 말할 수 있습니다. 선의 크기는 길이로 나타냅니다. 예를 들어, '선분 AB의
길이는 얼마이다'라고 말 할 수 있는 것입니다. 하지만 직선이나 반직선의 경우에는 '길이'라는 이야기는 할 수 있지만, 이들은 양쪽 혹은
한쪽으로 무한히 늘어나는 선이기 때문에 '길이가 얼마이다'라고 딱 잘라서 말할 수 없으며, '길이가 무한히 길다'고 밖에 할 수
없습니다.
 


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> 


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> name=basic1_3>면


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> size=2> 


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>면은 무수히 많은 선들의 모임입니다.


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>그 중에서도 평면은 공과 같은 곡면이 아닌 공책의 면처럼 편편한 면을 말합니다. 평면에도 역시 무수히 많은
선들이 있습니다. 다음 그림에서처럼 평면과 선이 만나는 경우를 생각해 볼까요?


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> size=2> 


     
       
       
         

           

           face=굴림 size=2>         src="점선면.files/basicgeometryc.gif"
     width=319>


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> size=2> 


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>평면과 선이 만날 때(왼쪽 그림), 그 선이 평면 위에 있지 않으면 그 선과 평면은 한 점에서 만나게 됩니다.
이 점은 선과 평면에 공통으로 포함되는 것으로 무수히 많은 점들로 이루어진 선의 한 점이자, 무수히 많은 선들로 이루어진 평면의 한 점이
됩니다.


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>앞에서 선과 선이 만나는 경우에도 한 점이 생긴다고 하였습니다. 이렇게 선과 선이 만날 때(오른쪽 그림),
선과 면이 만날 때(왼쪽 그림)생기는 점을 교점이라고 합니다.


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> size=2> 


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>그러면 다음 그림에서처럼 평면과 평면이 만나면 어떻게 될까요? 이 때는 선이 생깁니다. 이 선을 두 평면의
교선이라고 합니다. 이 교선은 물론 두 평면에 공통으로 포함되는 선입니다.
 


     
       
       
         

           

           face=굴림 size=2>        src="점선면.files/basicgeometryd.gif"
       width=164> 


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2> 


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>면의 크기는 넓이라는 말로 나타냅니다. 우리가 초등학교에서 배운 삼각형이나 사각형의 넓이를 구하는 법을
배웠습니다.


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>이때 삼각형이나 사각형을 이루는 면의 크기 즉, 넓이를 구한 것입니다.


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> 


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>그런데 여기서 배우는 평면은 넓이가 무한한 면을 말합니다. 그래서 평면을 그림으로 나타낼 때는 아래의
그림에서와 같이 평면의 일부분인 평행사변형을 그리고, 평면 ABCD라고 나타내거나 영문 대문자로 평면 P, 평면 Q 등으로
나타냅니다.
 


     
       
       
         

           

           face=굴림 size=2>         src="점선면.files/basicgeometrye.gif"
     width=199>


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> size=2>  


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>한 평면이 정해지기 위해서는 최소한 몇 가지 조건을 갖추어야 합니다. 이를 color=black face=굴림,신명조 size=2>평면의 결정 조건 face=굴림,신명조 size=2>이라고 합니다.


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> 


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>예를 들어 두 점 A와 B가 있다고 해 봅시다. 이 두 점으로는 한 평면을 결정할 수 없습니다. 이 두 점을
포함하는 평면은 다음 그림에서처럼 무수히 많기 때문입니다(물론, 이와 같은 평면을 실제로 무한히 많이 그릴 수가 없기 때문에, 이 그림에서는 세
개만 그렸지만....).


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> size=2> 



     

     face=굴림 size=2>  width=181>


size=2> 


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>따라서 점들로 한 평면을 정하려면 적어도 세 점이 있어야 합니다. 하지만 이 세 점들이 한 직선 위에 있으면
이 세 점을 포함하는 평면도 두 점을 포함하는 평면처럼 무수히 많아지고 맙니다.


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> size=2> 


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>그러면 한 직선 위에 있지 않은 세 점은 정말 하나의 평면으로 정해질까요? 다음 그림을 보면 알 수 있듯이 이
세 점을 포함하는 평면은 하나밖에 없습니다. 그래서 첫 번째
평면의 결정 조건을 color=black face=굴림,신명조 size=2>한 직선 위에 있지 않은 세 점 face=굴림,신명조 size=2>이라고 할 수 있습니다.


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> size=2> 


     
       
       
         

           

           face=굴림 size=2>         src="점선면.files/basicgeometryg.gif"
     width=178>


size=2>  


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>그러면 한 직선으로 한 평면을 정할 수 있을까요? 직선 AB를 포함하는 평면은 다음 그림처럼 무수히
많습니다(물론, 이와 같은 평면을 실제로 무한히 많이 그릴 수가 없기 때문에, 이 그림에서는 세 개만 그렸지만....).


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> size=2> 



     

     face=굴림 size=2>  width=177>


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> size=2> 


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>하지만 만약 직선 AB와 이 직선 위에 있지 않은 점 C가 있다면 어떨까요?


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> size=2> 


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>다음 그림처럼 이 경우에는 한 평면이 정해집니다.


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> size=2> 


     
       
       
         

           

           face=굴림 size=2>        src="점선면.files/basicgeometryi.gif"
     width=182>


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> size=2> 


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>직선 AB와 점 C를 포함하는 평면은 단 하나만 있게 됩니다. 직선 위의 점 A, B와 그렇지 않은 한 점
C를 생각하면 한 직선 위에 있지 않은 세
점이 되어 첫 번째 평면의 결정 조건과 같은 조건이 되어
한 평면이 정해진다는 것을 또 확인할 수 있습니다.


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> size=2> 


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>따라서 두 번째 평면의
결정조건은 face=굴림,신명조 size=2>한 직선과 그 직선 밖의 한 점 size=2>이 됩니다.


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> size=2> 


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>이번에는 직선만으로 평면을 결정할 수 있을지 생각해 봅시다. 위에서 한 직선으로는 한 평면을 결정할 수 없다는
것을 알아보았습니다. 서로 다른 두 직선이 있는 경우를 생각해 봅시다.


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>두 직선이 만나는 경우에는 어떻게 될까요? 두 직선이 만나는 경우에는 두 직선에 공통으로 포함되는 교점이
생긴다는 것을 앞에서 배웠습니다.


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> size=2> 


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>다음 그림에서처럼 교점을 점 P라 하고 교점이 아닌 점을 두 직선에서 각각 하나씩 택해 점 Q, 점 R이라
하면 한 직선 위에 있지 않은 세
점이 되어 한 평면이 결정된다는 것을 알 수 있습니다.
직선 PQ와 점 R 또는 직선 PR과 점 Q는 한 직선과 그
직선 밖의 한 점이 되어 역시 한 평면이 된다는 것을
확인할 수 있습니다.


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> size=2> 



     

     face=굴림 size=2>  width=210>


size=2> 


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>따라서 세 번째 평면의
결정 조건은 face=굴림,신명조 size=2>만나는 두 직선이
됩니다.


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> size=2> 


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>그러면 두 직선이 평행한 경우를 살펴볼까요? 평행한 두 직선 역시 다음 그림에서처럼 한 평면을 결정한다는 것을
알 수 있습니다.


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> size=2> 



     

     style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px">  color=black face=굴림,신명조 size=2>  src="점선면.files/basicgeometryk.gif" width=207>


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> size=2> 


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2>평행한 두 직선을 각각 직선 AB, 직선 CD라 하면 이것은 첫 번째 평면의 결정 조건처럼 한 직선 위에 있지
않은 세 점 color=black face=굴림,신명조 size=2>A, B, C로 생각할 수도 있고, 두 번째 평면의 결정 조건처럼 한 직선 AB와 그
직선 밖의 한 점 C로 생각할 수도 있어서 한 평면을 결정한다는 것을 확인할 수 있습니다. 따라서 face=굴림,신명조 size=2>네 번째 평면의 결정 조건 size=2>은 평행한 두 직선 color=black face=굴림,신명조 size=2>이 됩니다.


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2> 


style="LINE-HEIGHT: 100%; MARGIN-BOTTOM: 0px; MARGIN-TOP: 0px"> face=굴림,신명조 size=2> 


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