새로운.흐름

2000/06/29(19:10) from 210.123.47.204
작성자 : 박경애 (pka38@chollian.net)	조회수 : 1695 , 줄수 : 22

눈의 결정과 코흐곡선

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⑴ 눈의 결정과 코흐곡선(Koch Curve)
"과학은 야생적인 자연의 다양함 속에서 통일성을 발견하는 조사방법에 불과하다. 보다
정확하게 우리의 다양한 경험 속에서 통일성을 발견하는 조사방법 이외에는 아무 것도 아니
다. 시, 회화, 예술도 다양성 속에서 통일성을 찾는 똑같은 조사방법이다."
자연 가운데서 이러한 원리의 가장 아름다운 예 중의 하나가 눈송이 모양이다. 모든 눈송
이의 모양은 다양하나 기본적으로 육각형 모양으로 통일되어 있다. 각 눈송이는 한 형태로
제한되어 있고 12번 반복되어 나타난다. 이러한 획일성은 살아 있는 형태보다 더 강한 질서
와 획일성을 지니고 있는 비유기적이고 결정체로 이루어진 형태들의 성격이다.
코흐곡선이란 직선이든 곡선이든 상관없이 연결되어 있는 선을 의미하며, 1904년 스웨덴
의 수학자 코흐(Helge von Koch)의 이름을 딴 것이다. 코흐곡선은 각 변의 길이가 1인 정
삼각형에서 시작된다. 각 변을 3등분하여 가운데 부분에 새로운 삼각형을 추가한다. 이 삼각
형의 변의 길이는 1/3이다.동일한 방법으로 계속해 가면 아주 상세한 윤곽을 가지는 눈송이
모양이 나타난다. 그리고 그 둘레의 길이는 3X4/3X4/3X 4/3...이 되어 결국 무한대이다. 코
흐의 곡선에서 삼각형 주위로 외접원을 그렸을 때, 코흐의 곡선이 결코 원 밖으로 그려지지
않으므로 눈송이의 면적은 항상 원래 삼각형의 외접원의 면적 보다 클 수 없다.
다시 말해 코흐의 곡선에 무한히 삼각형을 추가한다 하더라도 코흐곡선 안의 전체면적은
유한함으로써 무한한 길이의 곡선이 유한한 면적을 둘러쌓게 되는 패러독스가 생기는 것이
다.
'코흐의 섬' 또는 '눈의 결정'은 작은 규모로 단계적으로 반복 점진시키는 과정에서 얻어
진다. 이러한 방법으로 매우 고도로 정밀한 구조의 복잡성을 만들어 낸다. 이 간단한 프랙탈
은 수학이 자연의 형태를 기술하는 어떤 새로운 방법을 지적해 줌을 보여준다